2019年中考江苏扬州第26题（新定义，直角三角形与三角函数）——2019年中考压轴/好题/新题－解析系列

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2019年中考江苏扬州第26题

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【2019•扬州】如图，平面内的两条直线l₁、l₂，点A，B在直线l₁上，点C、D在直线l₂上，过A、B两点分别作直线l₂的垂线，垂足分別为A₁，B₁，我们把线段A₁B₁叫做线段AB在直线l₂上的正投影，其长度可记作T_{（AB，CD）}或T，特别地线段AC在直线l₂上的正投影就是线段A₁C．

请依据上述定义解决如下问题：（1）如图1，在锐角△ABC中，AB＝5，T_{（AC，AB）}＝3，则T_{（BC，AB）}＝　　；（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，T_{（AC，AB）}＝4，T_{（BC，AB）}═9，求△ABC的面积；
（3）如图3，在钝角△ABC中，∠A＝60°，点D在AB边上，∠ACD＝90°，T_{（AD，AC）}＝2，T_{（BC，AB）}＝6，求T_{（BC，CD）}，
【图文解析】
第一问（1）如图1，在锐角△ABC中，AB＝5，T_{（AC，AB）}＝3，则T_{（BC，AB）}＝　　；【图解】
根据T_{（BC，AB）}的定义求解.∴T_{（BC，AB）}＝BH＝2.
 第二问（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，T_{（AC，AB）}＝4，T_{（BC，AB）}═9，求△ABC的面积；【图文解析】
根据新定义，作CD⊥AB于D．易得∠1＝∠2，根据三角函数的定义，得tan∠1＝tan∠2，得x:9=4:x,解得x=6(负值舍去).进一步，得S_△ABC＝0.5•AB•CH＝…＝39．

第三问（3）如图3，在钝角△ABC中，∠A＝60°，点D在AB边上，∠ACD＝90°，T_{（AD，AC）}＝2，T_{（BC，AB）}＝6，求T_{（BC，CD）}，【图文解析】
根据新定义，可得相关辅助线如下：根据题意，可得：T_{（AD，AC）}＝2＝AC，
T_{（BC，AB）}＝6＝BH，T_{（BC，CD）}＝CK.如下图示：进一步，得
所以T_{（BC，CD）}＝CK＝CD＋DK＝3.5√3.
【拓展】如图，在钝角△ABC中，sinB＝5/13，T_{（AB，BC）}＝m，T_{（AC，BC）}＝5/9，求T_{（BC，AB）.(用含m的代数式表示）}解法与原题类似，不给答案自行解决.

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